Trong không gian Oxyz với hệ trục tọa độ cho điểm A2;0;0,B0;2;0,C0;0;2. Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng α.:x+y+z=0 và tiếp xúc với 3 đường thẳng AB, BC, CA?

Đáp án D

Gọi mặt cầu (S) có tâm I là mặt cầu tiếp xúc 3 cạnh AB,BC,CA.

dI,AB=dI,BC=dI,AC.

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).

 M,P,C lần lượt là hình chiếu của H trên AB,BC,CA.

Ta có: ΔIHM=ΔIHN=ΔIHP (Cạnh huyền – cạnh góc vuông).

⇒HM=HN=HP⇒H là điểm thuộc mặt phẳng (ABC) và cách đều 3 cạnh AB,BC,CA.

⇒H có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay là một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của ΔABC.

Mà IH⊥ABC nên tập hợp điểm I là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của ΔABC và vuông góc với mặt phẳng ABC⇒ có 4 đường thẳng như thế.

Ta có A2;0;0,B0;2;0,C0;0;2⇒ phương trình mặt phẳng

 ABC:x+y+z−2=0⇒ABC//α.

Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm I nêu trên và mặt phẳng α.

4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán