Cho đa giác có 20 đỉnh. Chọn 4 đỉnh bất kì của đa giác. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác

Đáp án C

Số cách chọn 4 đỉnh từ 20 đỉnh là: n(Ω)=C204.

Gọi A là biến cố 4 đỉnh được chọn tạo thành tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác.

Số tứ giác có 2 cạnh chung với đa giác n đỉnh có công thức là: 3n(n−5)2.

Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác. Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh, nên có n cách chọn hai cạnh kề tùng với cạnh của đa giác.

Chọn 1 đỉnh còn lại trong n-5 đỉnh (bỏ 3 đỉnh tạo nên hai cạnh kề và 2 đỉnh hai bên). Do đó trường hợp này có n(n-5) tứ giác.

Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác. Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.

Trong n-4 đỉnh còn lại (bỏ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn ở trên và 2 đỉnh liền kề cạnh đã chọn sẽ tạo nên n-5 cạnh.

Chọn 1 cạnh trong n-5 cạnh đó nên có n-5 cách.

Song trường hợp này số tứ giác ta đếm 2 lần, do đó trường hợp này có n(n−5)2 tứ giác.

Vậy có tất cả: n(n−5)+n(n−5)2=3n(n−5)2 tứ giác.

Áp dụng vào bài với n=20, suy ra n(A)=3.20.(20−5)2=450.

Suy ra xác suất cần tìm là: P(A)=n(A)n(Ω)=450C204=30323.