Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2=25 cắt mặt phẳng (α):x+2y−2z−9=0 theo giao tuyến là một đường tròn (T) có đường kính CD. Biết A là một điểm di động thuộc mặt cầu (S) sao cho hình chiếu vuông góc của A trên (α) là điểm B thuộc đường tròn (T) (khác C, D). Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD là

Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính R = 5.

Gọi I là tâm đường tròn (T), khi đó: OI=dO,(α)=912+22+22=3

⇒CD=2CI=2R2−OI2=252−32=8.

Gọi BH là đường kính của (T), khi đó: AB=2OI=6.

Ta có: VABCD=13.AB.SBCD=13AB.12BK.CD=8BK

Với K là hình chiếu vuông góc của B trên CD.

Ta có: BK≤BI=CD2=4. Dấu “=” xảy ra khi K≡I hay BI⊥CD.

Suy ra: VABCD=8BK≤8.4=32⇒(VABCD)max=32.