Cho các số thực x,y,z thỏa mãn các điều kiện x,y≥0; z≥−1 và log2x+y+14x+y+3=2x−y . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x+z+123x+y+y+22x+2z+3 tương ứng bằng:

Đáp án D

Từ giả thiết ta có: log2x+y+14x+y+3=2x−y⇔1+log2x+y+14x+y+3=2x−y+1⇔log22x+2y+24x+y+3=2x−y+1⇔log22x+2y+24x+y+3=4x+y+3−2x+2y+2⇔log22x+2y+2+2x+2y+2=log24x+y+3+4x+y+3

Xét hàm ft=log2t+t  có f't=1tlnt+1>0⇒ft  đồng biến trên 0;+∞ .

⇒f2x+2y+2=f4x+y+3⇔2x+2y+2=4x+y+3⇔y=2x+1.

Thay vào biểu thức T  ta được T=x+z+123x+y+y+22x+2z+3=x+z+125x+1+2x+32x+2z+3

Áp dụng bất đẳng thức: T=x+z+125x+1+2x+32x+2z+3≥x+z+1+2x+325x+1+x+2z+3=3x+z+426x+2z+4=12.3x+z+423x+z+2

Đặt t=3x+z+2⇒T≥12.t+22t=12t+4t+4≥12.2.t.4t+4=4

Dấu “=” xảy ra khi y=2x+1t=2=3x+z+2x+z+15x+1=2x+3x+2z+3⇔x=z=0y=1

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là Tmin=4.