Trong không gian Oxyz,cho hai điểm \[M\left( { - 2; - 2;1} \right),\] \[A\left( {1;2; - 3} \right)\] và đường thẳng \[d:\frac{2} = \frac{2} = \frac{z}{{ - 1}}\]. Tìm một vectơ chỉ phương \[\vec u{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \] của đường thẳng Δ đi qua M, vuông góc với đường thẳng dđồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

Chọn đáp án A

Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \({z_1} = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left| {x + yi + 2 - 3i} \right| = 2\)

\( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn \(\left( \right)\) có tâm \({I_1}\left( { - 2;3} \right)\) và bán kính \({R_1} = 2\).

Điểm \(N\left( {x';y'} \right)\) biểu diễn số phức \({z_2} = x' + y'.i{\rm{ }}\left( {x',y' \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left| {x' - y'.i - 1 - 2i} \right| = 1\)

\( \Rightarrow N\) thuộc đường tròn \(\left( \right)\) có tâm \({I_2}\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \({R_2} = 1\).

Như vậy \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN\). Ta có \(\overrightarrow {{I_1}{I_2}} = \left( {3; - 5} \right) \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {34} >{R_1} + {R_2}\)

\( \Rightarrow \left( \right)\) và \(\left( \right)\) ở ngoài nhau \( \Rightarrow M{N_{\max }} = {I_1}{I_2} + {R_1} + {R_2} = \sqrt {34} + 3\).