Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN=2NB; mặt phẳng α di động qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNKQ

Đáp án B

Gọi a=SKSC  0≤a≤1

Vì mặt phẳng α di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q nên ta có đẳng thức SASM+SCSK=SBSN+SDSQ⇒2+1a=32+SDSQ⇔SQSD=2a2+a.

Ta có VS.MNKQVS.ABCD=12SMSA.SNSB.SKSC+SMSA.SKSC.SQSD=124a3−2a+2=2a3−1a+2

Xét hàm fa=2a3−1a+2 trên đoạn [0;1], ta được max0;  1fa=f1=13.

Ta chứng minh SASM+SCSP=SBSN+SDSQ

Ta có VS.ABCD=VSPNQ+VSQMP (*). Ta đặt V=VS.ABCD⇒VSABC=VSABD=VSBCD=V2

VSMNQVSABD=2VSMNQV=SMSA.SNSB.SQSD⇒VSNMQ=SMSA.SNSB.SQSD.V2

Tương tự VSPNQ=SPSC.SNSB.SQSD.V2;  VSMNP=SPSC.SNSB.SMSA.V2;  VSPQM=SPSC.SMSA.SQSD.V2.

Từ (*) ta được: SMSA.SNSB.SQSD+SPSC.SNSB.SQSD=SPSC.SNSB.SMSA+SPSC.SMSA.SQSD

Chia cả 2 vế cho SPSC.SMSA.SNSB.SQSD ta được SASM+SCSP=SBSN+SDSQ