Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'). Gọi AA' và BB' là hai đường sinh bất kì của (T) và M là một điểm di động trên đường tròn (O). Thể tích lớn nhất của khối chóp M.AA'B'B bằng bao nhiêu?

Đáp án B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB ⇒MH⊥AA'B'B.

Khi đó:  VM.AA'B'B=13MH.SAA'B'B=13MH.AB.AA'=R3MH.AB.

Vậy để VM.AA'B'Bmax⇔MH.ABmax.

Khi AB cố định thì MH.ABmax⇔MHmax⇔  M nằm chính giữa cung lớn AB, suy ra O∈MH⇒ H là trung điểm của AB.

Đặt  OH=x⇒MH=MO+OH=R+xAB=2HB=2OB2−OH2=2R2−x2.

Suy ra:  MH.AB=R+x.2R2−x2

⇔MH.AB2=4R+x2.(R2−x2)

=43R+xR+xR+x.3R−3x

≤43R+x+R+x+R+x+3R−3x44=27R44.

Dấu “=” xảy ra khi:  R+x=3R−3x⇔x=R2.