Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình z2−a−3z+a2+a=0 có hai nghiệm phức z1,z2 thỏa mãn z1+z2=z1−z2.

Phương pháp:

- Tính Δ của phương trình z2−a−3z+a2+a=0, giải bất phương trình Δ<0.

- Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức thì hai nghiệm đó là số phức liên hợp của nhau, đặt z1=x+yi⇒z2=x−yi

- Giải phương trình z1+z2=z1−z2 tìm mối quan hệ giữa x và y.

- Giải phương trình z2−a−3z+a2+a=0 theo a,Δ tìm z1,z2. Với mỗi trường hợp trên giải phương trình chứa căn tìm

Cách giải:

Xét phương trình z2−a−3z+a2+a=0 ta có:

Δ=a−32−4a2+a=−3a2−10a+9.

Để phương trình có 2 nghiệm phức thì −3a2−10a+9<0⇔a>−5+2133a<−5−2133*.

Vì z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2−a−3z+a2+a=0 nên chúng là 2 số phức liên hợp. Do đó đặt 

Theo bài ra ta có:

z1+z2=z1−z2

⇔|x + yi + x-yi|=|x + yi - x+yi|

⇔2x=2yi

⇔x=yi

⇔x=y

⇔x=yx=−y

Ta có: z2−a−3z+a2+a=0⇔z1=a−3+Δi2=a−32+Δ2iz1=a−3−Δi2=a−32−Δ2i

TH1: x=y⇒a−3=Δ⇔a≥3a−32=3a2+10a−9

⇔a≥32a2+16a−18−0⇔a=1a=−9ktm.

TH2: x=−y⇒3−a=Δ⇔a≤3a−32=3a2+10a−9

 Hai giá trị này của a thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy có 2 số nguyên a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.