Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - m - 1} \right)x + 1.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) để hàm số đạt cực trị tại \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + 2m{x_2} - 3{m^2} + m - 5 \le 0?\)

Đáp án B.

Ta có \(y' = {x^2} - 2mx + {m^2} - m - 1.\)

Hàm số đạt cực trị tại \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \Delta {'_{y'}} >0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {{m^2} - m - 1} \right) >0\)

\( \Leftrightarrow m + 1 >0\)

\( \Leftrightarrow m >- 1.{\rm{ }}\left( * \right)\)

Vì \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(y' = 0\) nên theo định lý Vi-et ta có:

\({x_1} + {x_2} = 2m,{x_1}{x_2} = {m^2} - m - 1.\)

Mặt khác, \(x_1^2 - 2m{x_1} + {m^2} - m - 1 = 0 \Leftrightarrow x_1^2 = 2m{x_1} - {m^2} + m + 1.\)

\(x_1^2 + 2m{x_2} - 3{m^2} + m - 5 \le 0 \Leftrightarrow 2m{x_1} - {m^2} + m + 1 + 2m{x_2} - 3{m^2} + m - 5 \le 0\)

\( \Leftrightarrow 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4{m^2} + 2m - 4 \le 0\)

\( \Leftrightarrow 2m.2m - 4{m^2} + 2m - 4 \le 0\)

\( \Leftrightarrow m \le 2.\)

So với điều kiện \(\left( * \right),\) ta có \( - 1 < m \le 2.\) Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số thực \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.