Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y\) là

Đáp án D.

Theo giả thiết: \(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y\left( * \right).\)

Điều kiện: \(x \ge - 1,y \ge - 2.\)

Ta có: \(P = x + y \Leftrightarrow y = P - x,\) thế vào \(\left( * \right)\) ta được:

\(3\sqrt {x + 1} + 3\sqrt {P - x + 2} = P{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x \ge - 1.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \ge 0\\2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {P - x + 2} \right)} = \frac{{{P^2}}}{9} - P - 3\end{array} \right.\)

Để có nghiệm thì \(\frac{{{P^2}}}{9} - P - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge \frac{2}\\P \le \frac{2}\end{array} \right. \Rightarrow P \ge \frac{2}.\)

Với giá trị nhỏ nhất \(P = \frac{2}\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = - 1,\) suy ra:

\( \Rightarrow y = P - x = \frac{2} + 1 = \frac{2}.\)

Mặt khác, ta lại có:\(P = x + y \Leftrightarrow x = P - y,\) thế vào (*) ta được:

\(P = 3\sqrt {P - y + 1} + 3\sqrt {y + 2} \) \(\left( 2 \right)\)

Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\) để phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(y \ge - 2.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \ge 0\\2\sqrt {\left( {y + 2} \right)\left( {P - y + 1} \right)} = \frac{{{P^2}}}{9} - P - 3\end{array} \right.\)

Để có nghiệm thì \(\frac{{{P^2}}}{9} - P - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge \frac{2}\\P \le \frac{2}\end{array} \right. \Rightarrow P \ge \frac{2}.\)

Với giá trị nhỏ nhất \(P = \frac{2}\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(y = - 2,\) suy ra:

\( \Rightarrow x = P - y = \frac{2} + 2 = \frac{2}.\)

Vậy \({P_{\min }} = \frac{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = \frac{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)