Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:2x + y - 3 = 0\) và \({d_2}:x - 2y + 1 = 0\) đồng thời tạo với đường thẳng \({d_3}:y - 1 = 0\) một góc bằng \(45^\circ \) là

Gọi \(A\left( {x\,;\,\,y} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\), ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1}:2x + y - 3 = 0}\\{{d_2}:x - 2y + 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array} \Rightarrow A\left( {1\,;\,\,1} \right) \in \Delta } \right.} \right.{\rm{. }}\)

Ta có \({d_3}:y - 1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow   = \left( {0\,;\,\,1} \right).\)

Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\vec n = \left( {a\,;\,\,b} \right)\) và \(\varphi  = \left( {\Delta \,;\,\,{d_3}} \right).\)

Khi đó \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos \varphi  = \frac{{|b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \cdot \sqrt {0 + {1^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{b^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b \Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow \Delta :x + y - 2 = 0}\\{a =  - b \Rightarrow a = 1\,;\,\,b =  - 1 \Rightarrow \Delta :x - y = 0}\end{array}} \right.\).

Chọn C.