Cho vật thể \(\left( T \right)\) giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0\,;\,\,x = 2.\) Cắt vật thể \(\left( T \right)\) bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại \(x\,\,\left( {0 \le x \le 2} \right)\) ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng \(\left( {x + 1} \right){e^x}.\) Thể tích của vật thể \(\left( T \right)\) bằng

Diện tích thiết diện là \[S\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{e^{2x}}.\]

Thể tích của vật thể \((T)\) là \[V = \int\limits_0^2 {S\left( x \right)\,} dx = \int\limits_0^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{e^{2x}}\,} dx\]

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {{\left( {x + 1} \right)}^2}}\\{\;{\rm{d}}v = {e^{2x}}\;{\rm{d}}x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = 2\left( {x + 1} \right){\rm{d}}x}\\{v = \frac{1}{2}{e^{2x}}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow V = \left. {\frac{1}{2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}{e^{2x}}} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\left( {x + 1} \right){e^{2x}}\,} dx\)\( = \frac{{9{e^4} - 1}}{2} - \left( {\left. {\frac{2}{e^{2x}}} \right|_0^2 - \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {{e^{2x}}\,} dx} \right)\)

\( = \frac{{9{e^4} - 1}}{2} - \frac{{3{e^4} - 1}}{2} + \left. {\frac{1}{4}{e^{2x}}} \right|_0^2 = 3{e^4} + \frac{1}{4}{e^4} - \frac{1}{4} = \frac{{13{e^4} - 1}}{4}{\rm{. }}\)Chọn B.