Cho hàm số \(y = {a^x},\,\,y = {\log _b}x\) có đồ thị là \(\left( \right),\,\,\left( \right)\) như hình vē bên dưới. Đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) cắt \(\left( \right)\), trục \(Oy,\,\,\left( \right)\) lần lượt tại \[M,\,\,H,\,\,N.\] Biết \(HN = 3HM\) và hình chữ nhật \[MNPQ\] có diện tích bằng 2. Tính giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2}.\)

Ta có \(OH = \frac{1}{2} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = OH \cdot MN = \frac{1}{2}MN = 2 \Leftrightarrow MN = 4.\)

Mà \(HN = 3HM\) nên \(HN = 3,\,\,HM = 1.\)

Lại có \[M,\,\,N\] đều nằm trên đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\).

Suy ra toạ độ của hai điểm \[M,\,\,N\] là \[M\left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\] và \(N\left( {3\,;\,\,\frac{1}{2}} \right).\)

• \(M \in \left( \right):y = {a^x} \Rightarrow \frac{1}{2} = {a^{ - 1}} \Leftrightarrow a = 2.\)

• \(N \in \left( \right):y = {\log _b}x \Rightarrow \frac{1}{2} = {\log _b}3 \Leftrightarrow b = 9.\)