Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a,{\rm{ }}SA\] vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Gọi \(\alpha \) là góc giữa \[SD\] và \(\left( {SAC} \right).\) Giá trị \(\sin \alpha \) bằng

Gọi \(O = AC \cap BD.\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{DO \bot AC}\\{DO \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array} \Rightarrow DO \bot \left( {SAC} \right)} \right..\)

\( \Rightarrow {\rm{SO}}\) là hình chiếu của \[SD\] lên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\)\[ \Rightarrow \widehat {\left( {SD;\,\,\left( {SAC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {S\,;\,SO} \right)} = \widehat {DSO} = \alpha .\]

• Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \({\rm{A}}\) ta có: \(SD = \sqrt {3{a^2} + {a^2}}  = 2a\)

• Xét \(\Delta SOD\) vuông tại O, có \(SD = 2a,\,\,OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \sin \widehat {DSO} = \frac = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\) Chọn A.