Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A2;−2;4,B−3;3;−1,C−1;−1;−1 và mặt phẳng P:2x−y+2z+8=0. Xét điểm M thay đổi thuộc (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=2MA2+MB2−MC2.

 Chọn A.

Gọi I là điểm thỏa mãn: 2IA→+IB→−IC→=0→

⇔2OA→−OI→+OB→−OI→−OC→−OI→=0→

⇔OI→=OA→+12OB→−12OC→=1;0;4

⇔I1;0;4.

Khi đó, với mọi điểm Mx;y;z∈P, ta luôn có

T=2MI→+IA→2+MI→+IB→2−MI→+IC→2

=2MI→2+2MI→.2IA→+IB→−IC→+2IA→2+IB→2−IC→2

=2MI2+2IA2+IB2−IC2.

Ta tính được 2IA2+IB2−IC2=30.

Do đó, T đạt GTNN ⇔MI đạt GTNN ⇔MI⊥P.

Lúc này, IM=dI,P=2.1−0+2.4+822+−12+22=6.

Vậy Tmin=2.62+30=102.