Một con xoay được thiết kế gồm hai khối trụ \(\left( \right),\,\,\left( \right)\) chồng lên khối nón \(\left( N \right)\) (tham khảo mặt cắt ngang qua trục như hình vẽ). Khối trụ \(\left( \right)\) có bán kính đáy \(r(\;{\rm{cm}})\), chiều cao \({h_1}\,\,(\;{\rm{cm}}).\) Khối trụ \(\left( \right)\) có bán kính đáy \(2r\,\,(\;{\rm{cm}})\), chiều cao \({h_2} = 2{h_1}\,\,(\;{\rm{cm}}).\) Khối nón \(\left( N \right)\) có bán kính đáy \(r\,\,(\;{\rm{cm}})\), chiều cao ...

Theo bài ta có \({h_n} = 4{h_1} \Rightarrow {h_1} = \frac{1}{4}{h_n};{h_2} = 2{h_1} = \frac{1}{2}{h_n}\).

Thể tích toàn bộ con xoay là:

\[V = {V_{\left( {T1} \right)}} + {V_{\left( {T2} \right)}} + {V_{\left( N \right)}} = \pi  \cdot r{ \cdot ^2}{h_1} + \pi  \cdot {\left( {2r} \right)^2} \cdot {h_2} + \frac{1}{3}\pi  \cdot {r^2} \cdot {h_n}\]

\( \Leftrightarrow \pi  \cdot {r^2} \cdot \frac{1}{4}{h_n} + \pi  \cdot 4{r^2} \cdot \frac{1}{2}{h_n} + \frac{1}{3}\pi  \cdot {r^2} \cdot {h_n} \Leftrightarrow 31 = \frac{3}{4}\left( {\frac{1}{3}\pi  \cdot {r^2} \cdot {h_n}} \right) + 6\left( {\frac{1}{3}\pi  \cdot {r^2} \cdot {h_n}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi  \cdot {r^2} \cdot {h_n} \Leftrightarrow 31 = \frac{4}\,\,\,\left( {\frac{1}{3}\pi  \cdot {r^2} \cdot {h_n} = 4} \right)\).

Vậy thể tích khối nón \(\left( N \right)\) là: \({V_{\left( N \right)}} = 4\,\,\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\). Chọn C.