Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh bằng \[a.\] Gọi \(I\) là trung điểm của \[AB,\] hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\) \(H\) là trung điểm của \[CI,\] góc giữa \[SA\] và mặt đáy bằng \(45^\circ \) (hình vẽ bên). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \[SBC.\] Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SA\] và \[CG\] bằng

Đặt hệ trục toạ độ \[Oxyz\] sao cho \(I\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,A\left( {\frac{a}{2}\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( { - \frac{a}{2}\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,\) \(C\left( {0\,;\,\,\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\,;\,\,0} \right).\)

Ta có: \(CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,IH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4},\,\,AH = \frac{{a\sqrt 7 }}{4}\).

Vì \(H\) là trung điểm CI suy ra \(H\left( {0\,;\,\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\,;\,\,0} \right).\)

Ta có \(\left( {SA,\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,\,\,AH} \right) = \widehat {SAH} = 45^\circ \)\( \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 7 }}{4} \Rightarrow S\left( {0\,;\,\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\,;\,\,\frac{{a\sqrt 7 }}{4}} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {\frac{a}{2}\,;\,\, - \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\,;\,\, - \frac{{a\sqrt 7 }}{4}} \right),\,\,\overrightarrow {CG}  = \left( { - \frac{a}{6}\,;\,\, - \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\,;\,\, - \frac{{a\sqrt 7 }}} \right),\,\,\overrightarrow {CA}  = \left( {\frac{a}{2}\,;\,\, - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\,;\,\,0} \right)\);

\[\left[ {\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {CG} } \right] = \left( {\frac{{a\sqrt {21} }}\,;\,\,0\,;\,\,\frac{{a\sqrt 3 }}} \right) \Rightarrow \left| {\,\left[ {\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {CG} } \right]\,} \right| = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\].

Khoảng cách giữa \[SA\] và \(CG\) nên \(\frac{{\left| {\,\left[ {\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {CA} \,} \right|}}{{\left| {\,\left[ {\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {CG} } \right]\,} \right|}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{8}.\) Chọn B.