Biết \[\int\limits_1^2 {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}} \right).\] Khi đó giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng

Ta có \(\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{2} - \frac{1}.\)

Do đó \(\int\limits_1^2 {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}}  = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{2} - \frac{1}} \right)} \,{\rm{d}}x = 2 \cdot \int_1^2 {\frac{1}} \;{\rm{d}}x - \int_1^2 {\frac{1}} \;{\rm{d}}x\)

\( = \left. {2 \cdot \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right|_1^2 - \left. {\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_1^2 = \left. {\ln \left( {2x + 1} \right)} \right|_1^2 - \left. {\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_1^2\)\( = \ln 5 - \ln 3 - \left( {\ln 3 - \ln 2} \right) = \ln 2 - 2\ln 3 + \ln 5.\)

Suy ra \(a = 1\,,\,\,b =  - 2\,,\,\,c = 1.\)

Vậy \(a + b + c = 1 + \left( { - 2} \right) + 1 = 0.\) Chọn D.