Trong không gian \[Oxyz,\] cho các đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 6 + t{\rm{ v\`a }}}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng \((P):x + 3y - z - 1 = 0.\) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\) thuộc \(d\), tiếp xúc với cả \(\Delta \) và \((P).\) Biết hoành độ điểm \(I\) là số nguyên. Tung độ của điểm \(I\) là

Do \(I \in d \Rightarrow I\left( {t\,;\,\, - 6 + t\,;\,\,2 - t} \right).\)

Ta có \(d\left( {I\,,\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {5t - 21} \right|}}{{\sqrt {11} }}.\)

\[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2\,;\,\,1\,;\,\, - 1} \right),\,\,M\left( {5\,;\,\,1\,;\,\, - 1} \right) \in \Delta \]\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\,\,\overrightarrow {IM} } \right] = \left( { - 4\,;\,\,t - 1\,;\,\,t - 9} \right)\)

\[ \Rightarrow d\left( {I,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t - 9} \right)}^2}} }}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt {2{t^2} - 20t + 98} }}{{\sqrt 6 }}\]

Mà \[\left( S \right)\] tiếp xúc với \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) nên \(d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\,\,\Delta } \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {5t - 21} \right|}}{{\sqrt {11} }} = \frac{{\sqrt {2{t^2} - 20t + 98} }}{{\sqrt 6 }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {5t - 21} \right)}^2}}} = \frac{{2{t^2} - 20t + 98}}{6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t = \frac{8}}\end{array} \Rightarrow I\left( {2\,;\,\, - 4\,;\,\,0} \right).} \right.\) Chọn C.