Cho hình lăng trụ tứ giác đều \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh đáy bằng \(a\), khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(\frac{a}{3}.\) Thể tích của lăng trụ đã cho là

Ta có: \(BC \bot AA',\,\,BC \bot AB \Rightarrow BC \bot \left( {ABA'} \right) \Rightarrow \left( {A'BC} \right) \bot \left( {ABA'} \right).\)

Kẻ \(AH \bot A'B \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow AH = d\left( {A,\,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{a}{3}.\)

Xét \(\Delta A'AB\) vuông tại \(A\) có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{8}{{{a^2}}}.\)

\( \Rightarrow A'A = \frac{{a\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}.\) Chọn C.