Cho \[x,\,\,y\] thỏa mãn \(x + y = 2.\) Giá trị nhỏ nhất của \[A = 2 \cdot {3^y} + \frac{1} \cdot {3^{2x}}\] là

Ta có: \(x + y = 2 \Leftrightarrow y = 2 - x\)

Xét \(A = 2 \cdot {3^y} + \frac{1} \cdot {3^{2x}} = 2 \cdot {3^{2 - x}} + \frac{1} \cdot {3^{2x}} = \frac{{{3^x}}} + \frac{1} \cdot {\left( {{3^x}} \right)^2}.\)

Đặt \(t = {3^x},t > 0\), khi đó \(A = \frac{t} + \frac{{{t^2}}}.\)

Xét \(A' = \frac{t} - \frac{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 6.\)

Bảng biến thiên của hàm số \(A = \frac{t} + \frac{{{t^2}}}\;\,\forall t \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right).\)

Khi đó \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = 6 \Rightarrow {A_{\min }} = \frac{9}{2}.\) Chọn C.