Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} + 2x - 1\) và các đường thẳng \(y = m\,,\,\,x = 0\,,\,\,x = 1.\) Để \(S \le 2021\) thì có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 4040\,;\,\, - 3} \right]?\)

Ta có: \(y = {x^2} + 2x - 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} - 2 \ge  - 2\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Mà \(m \in \left[ { - 4040\,;\,\, - 3} \right]\) nên \(m < {x^2} + 2x - 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Suy ra \(S = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 2x - 1 - m} \right)\,dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - x - mx} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{3} - m.\)

Khi đó \(S \le 2021 \Leftrightarrow \frac{1}{3} - m \le 2021 \Leftrightarrow m \ge  - \frac{3}.\)

Vì \(m \in \left[ { - 4040\,;\,\, - 3} \right],\,\,m \in \mathbb{Z}\) nên có 2018 số nguyên \[m.\] Chọn D.