Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y=|3x4−8x3−6x2+24x−m|có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S.

Phương pháp giải:

Số điểm cực trị của hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] với f(x) là hàm đa thức = số điểm cực trị của hàm số y=f(x) + số giao điểm (không tính điểm tiếp xúc) của đồ thị hàm số f(x) và trục hoành.

Giải chi tiết:

Xét hàm số y=|3x4−8x3−6x2+24x−m|.

Đồ thị hàm số f(x) có nhiều nhất 3 điểm cực trị và cắt trục hoành tại nhiều nhất 4 điểm.

Do đó để đồ thị hàm số y=|f(x)| có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số f(x) phải cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và có 3 điểm cực trị.

đồ thị hàm số f(x) phải cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt (vì khi đó chắc chắn hàm số y=f(x) sẽ có 3 điểm cực trị) ⇒ Phương trình y=|3x4−8x3−6x2+24x−m|phải có 4 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số g(\[g\left( x \right) = 3{x^4} - 8{x^3} - 6{x^2} + 24x\] ta có g'(x)=12x3−24x2−12x+24=0⇔[x=−1x=1x=2.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt ⇔8

Mà m∈ℤ⇒m∈S={9;10;11;12}.

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 9+10+11+12=42.

Đáp án D.