Cho hàm số y=f(x)=ax3+bx2+cx+d. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ là −1, 13, 12. Hỏi phương trình f[sin(x2)]=f(0) có bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π;π].

Chọn C.

Vì đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên f(x) là hàm số bậc 3

\( \Rightarrow a \ne 0.\)

Từ giả thiết ta có: f(x)=a(x+1)(x−13)(x−12)⇔f(x)=16a(6x3+x2−4x+1).

Khi đó: y'=16a(18x2+2x−4)=0⇔x=−1±7318

Suy ra đồ thị hàm số y=f(x) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục tung.

Từ đó ta có phương trình f[sin(x2)]=f(0)⇔[sin(x2)=a1∈(−1;0) (1)sin(x2)=0                 (2)sin(x2)=a2∈(12;1]  (3)

* Giải (1)

Vì x∈[−π;π] nên x2∈[0;π]⇒sin(x2)∈[0;1]. Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) không có nghiệm thỏa mãn đề bài.

* (2)⇔x2=kπ.

Vì x2∈[0;π] nên ta phải có 0≤kπ≤k,π∈ℤ⇔0≤k≤1,k∈ℤ⇒k∈{0;1}.

Suy ra phương trình (2) có 3 nghiệm thỏa mãn là: x1=−π;x2=0;x3=π.

* (3)⇔[x2=arcsina2+k2πx2=π−arcsina2+k2π,(với arcsina2∈[π6;π2]).

Vì x2∈[0;π] nên ta thấy phương trình (3) có các nghiệm thỏa mãn là x=±arcsina2 và x=±π−arcsina2.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.