Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\left( {{3^x} + {3^{6 - x}} - 246} \right)\sqrt {5 - \ln \left( {x + 3} \right)} \ge 0\) là

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3 > 0}\\{5 - \ln \left( {x + 3} \right) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >  - 3}\\{\ln \left( {x + 3} \right) \le 5}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >  - 3}\\{x + 3 \le {e^5}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >  - 3}\\{x \le {e^5} - 3}\end{array} \Leftrightarrow  - 3 < x \le {e^5} - 3.} \right.} \right.\)

Ta có: \(\left( {{3^x} + {3^{6 - x}} - 246} \right)\sqrt {5 - \ln \left( {x + 3} \right)}  \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{5 - \ln \left( {x + 3} \right) = 0{\rm{ (1) }}}\\{{3^x} + {3^{6 - x}} - 246 \ge 0}\end{array}} \right.\)

(1) \( \Leftrightarrow \ln \left( {x + 3} \right) = 5 \Leftrightarrow x + 3 = {e^5} \Leftrightarrow x = {e^5} - 3\) (nhận).

\((2) \Leftrightarrow {3^x} + \frac{{{3^x}}} - 246 \ge 0 \Leftrightarrow {3^{2x}} - 246 \cdot {3^x} + 729 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^x} \le 3}\\{{3^x} \ge {3^5}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 1}\\{x \ge 5}\end{array}} \right.} \right..\)

So với điều kiện, ta có các giá trị nguyên thỏa mãn là \(x \in \left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right\} \cup \left\{ {5\,;\,\,6\,;\,\, \ldots ;\,\,145} \right\}.\)

Vậy bất phương trình đã cho có 145 nghiệm nguyên. Chọn B.