Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \left( {m + 1} \right)y = m - 2}\\{2mx + \left( {m - 2} \right)y = 4}\end{array}} \right..\) Biết rằng có hai giá trị của tham số \(m\) là \({m_1},\,\,{m_2}\) để hệ phương trình có nghiệm \(\left( {{x_0};\,\,2} \right).\) Tính \({m_1} + {m_2}\).

Vì hệ đã cho có nghiệm \(\left( {{x_0};\,\,2} \right)\) nên ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} - \left( {m + 1} \right) \cdot 2 = m - 2}\\{2m{x_0} + \left( {m - 2} \right) \cdot 2 = 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 3m}\\{m{x_0} + m - 2 = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 3m}\\{3{m^2} + m - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 3m}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m =  - \frac{4}{3}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy có hai giá trị của \(m\) là \({m_1} = 1,{m_2} =  - \frac{4}{3}\) nên ta có \({m_1} + {m_2} =  - \frac{1}{3}.\) Chọn A.