Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \(B,\,\,BC = a,\,\,AC = 2a.\) Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \[SAB\] là tam giác đều có trọng tâm \[G.\] Thể tích của khối chóp S.GBC bằng

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB\)

Mà \((SAB) \bot (ABC);(SAB) \cap (ABC) = AB \Rightarrow SH \bot (ABC)\)

Ta có \(\frac{{{V_{S.GBC}}}}{{{V_{S.HBC}}}} = \frac = \frac{2}{3} \Rightarrow {V_{S.GBC}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC}}\)

Lai có \(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}}  = \sqrt 3 a\)

Suy ra \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 a \cdot a}}{2} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\]

Vậy thể tích cần tính là \({V_{S.GBC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{a^3}.\) Chọn C.