Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho tồn tại số thực \(b\) thoả mãn \({2^a} = {3^b}\) và \(a - b < 4\,?\)

Ta có \({2^a} = {3^b} \Rightarrow b = a \cdot {\log _3}2\)

\( \Rightarrow a - b < 4 \Leftrightarrow a - a \cdot {\log _3}2 < 4\)\( \Leftrightarrow a\left( {1 - {{\log }_3}2} \right) < 4\)

\( \Leftrightarrow a < {\log _3}\frac{3}{2} < 4 \Leftrightarrow a < \frac{4}{{{{\log }_3}\frac{3}{2}}}\). Do đó \(a \in \left( {0;\frac{4}{{{{\log }_3}\frac{3}{2}}}} \right).\)

Kết hợp điều kiện \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots \,;\,\,10} \right\}.\)

Vậy có 10 giá trị của \(a\) thoả mãn. Chọn B.