Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} + 3\) tại điểm cực tiểu của đồ thị cắt đồ thị ở \[A,\,\,B\] khác tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng \[AB\] là

Ta có \(y' =  - {x^3} + 4x\,;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x =  \pm \,2}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(M\left( {0\,;\,\,3} \right).\)

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực tiểu là đường thẳng \(y = 3.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là:

\( - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} + 3 = 3 \Leftrightarrow  - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x =  \pm 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( { - 2\sqrt 2 \,;\,\,3} \right)\,;\,\,B\left( {2\sqrt 2 \,;\,\,3} \right) \Rightarrow AB = 4\sqrt 2 .\) Chọn D.