Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(y' = x{y^2}\) và \(f\left( { - 1} \right) = 1\) thì giá trị \(f\left( 2 \right)\) là

Ta có \(f\left( x \right) + x \cdot f'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x + 2\)\( \Leftrightarrow x' \cdot f\left( x \right) + x \cdot f'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x + 2\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x \cdot f'\left( x \right)} \right)^\prime } = 4{x^3} + 4x + 2 \Leftrightarrow x \cdot f\left( x \right) = \int {\left( {4{x^3} + 4x + 2} \right){\rm{d}}x} \)

\[ \Leftrightarrow x \cdot f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} + 2x + C\,\,\,(*)\]

Thay \(x = 0\) vào (*), ta được \(C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} + 2x + 2.\)

Suy ra \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2\), do đó \(f\left( x \right) = f'\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1.{\rm{ }}}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy diện tích cần tính là \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right|{\rm{d}}x}  = \frac{1}{2}.\) Chọn C.