Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a,\,\,SA\] vuông góc với đáy và \(SA = a.\) Điểm \(M\) nằm trên cạnh \[SA\] sao cho \(\frac = k.\) Khi mặt phẳng \(\left( {BMC} \right)\) chia khối chóp \[S.ABCD\] thành hai phần có thể tích bằng nhau thì giá trị của \(k\) bằng

Vì \(BC\,{\rm{//}}\,AD\) nên mặt phẳng \(\left( {BMC} \right)\) cắt \((SAD)\) theo đoạn thẳng \(MN\,{\rm{//}}\,AD\,\,\left( {N \in SD} \right)\)

\(\frac{{{V_{S.BMC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac = k\); \(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac \cdot \frac = {k^2}\)

\( \Rightarrow {V_{S.MNC}} = {k^2} \cdot {V_{S.ADC}} = \frac{{{k^2}}}{2} \cdot {V_{S.ABCD}}\)\( \Rightarrow {V_{S.MBCN}} = \left( {\frac{k}{2} + \frac{{{k^2}}}{2}} \right) \cdot {V_{S.ABCD}}\).

Để \(\left( {BMC} \right)\) chia khối chóp \[S.ABCD\] thành hai phần có thể tích bằng nhau thì

\(\frac{k}{2} + \frac{{{k^2}}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {k^2} + k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\left( {k > 0} \right).\) Chọn B.