Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \left| {f\left( {2\sin x + 1} \right) + m} \right|\] không vượt quá 10?

Đặt \(t = 2\sin x + 1\,,\,\,t \in \left[ { - 1\,;\,\,3} \right]\)

Xét hàm số \(g(t) = f(t) + m = {t^3} - 3t + 1 + m\,,\,\,t \in \left[ { - 1\,;\,\,3} \right]\)

\(g'(t) = 3{t^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow t =  \pm 1\)

Suy ra \({\max _{\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]}}g(t) = g(3) = m + 19\,,\,\,{\min _{\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]}}g(t) = g(1) = m - 1\)

TH1: Nếu \(m + 19 > m - 1 > 0\,\,\left( {m > 1} \right)\)

Để thoả mãn yêu cầu bài toán thì \(m - 1 \le 10 \Rightarrow m \le 11 \Rightarrow 1 < m \le 11\) (1)

TH2: Nếu \(0 > m + 19 > m - 1\,\,\left( {m <  - 19} \right)\)

Để thoả mãn yêu cầu bài toán thì \(m + 19 \ge  - 10 \Leftrightarrow m \ge  - 29 \Rightarrow  - 29 \le m <  - 19\) (2)

TH3: Nếu \(m - 1 \le 0 \le m + 19 \Leftrightarrow  - 19 \le m \le 1\) thì \(\min y = 0\) (hiển nhiên đúng) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \( - 29 \le m \le 11\).

Vậy có 41 số nguyên thoả mãn. Chọn B.