Một bình nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi \,\,d{m^3}.\) Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Thể tích nước còn lại trong bình là

Vì đúng một nửa khối cầu chìm trong nước nên thể tích khối cầu gấp 2 lần thể tích nước tràn ra ngoài.

Gọi bán kính khối cầu là \(R,\) lúc đó: \(\frac{4}{3}\pi {R^3} = 36\pi  \Leftrightarrow {R^3} = 27.\)

Xét tam giác \[ABC\] có \[AC\] là chiều cao bình nước nên \(AC = 2R\) (vì khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước).

Trong tam giác \[ABC\] có: \(\frac{1}{{C{H^2}}} = \frac{1}{{C{A^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{R^2}}} = \frac{1}{{4{R^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}} \Leftrightarrow C{B^2} = \frac{{4{R^2}}}{3}.\)

Thể tích khối nón là: \({V_n} = \frac{1}{3}\pi  \cdot C{B^2} \cdot AC = \frac{1}{3}\pi  \cdot \frac{{4{R^2}}}{3} \cdot 2R = \frac{{8\pi }}{9} \cdot {R^3} = 24\pi \,\,\left( {d{m^3}} \right).\)

Chọn D.