Trong khôn gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[\left( S \right):\;{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{3}\] và đường thẳng \[d:\;\frac{3} = \frac{2} = \frac{1}.\] Gọi \[A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\;\left( {{x_0} > 0} \right)\] là điểm thuộc d sao cho từ A ta kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) và các tiếp điểm \[B,\;C,\;D\] sao cho ABCD là tứ diện đều. Tính độ dài đoạn \[OA.\]

Đáp án A

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {\frac{3}} \)

Vì AB là tiếp tuyến nên \(AB \bot BI\), lại có \(IB = IC = I{\rm{D}} = R\) nên AI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Gọi \(H = AI \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\), đặt \(AB = a = C{\rm{D}} \Rightarrow HB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\sin \widehat {HAB} = \frac = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) mà \(\Delta ABI\) vuông tại B nên

\(AI.\sin \widehat {HBA} = BI = \sqrt {\frac{3}} \Rightarrow AI = \sqrt {14} \)

Gọi \(A\left( {1 + 3t;2 + 2t;3 + t} \right)\) ta có \(A{I^2} = 14{t^2} = 14\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( { - 2;0;2} \right){\rm{ }}\left( {loai} \right)\\A\left( {4;4;4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OA = 4\sqrt 3 \).