Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\). Điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) là:

Đáp án C

Phương pháp giải:

- Tính \[g'\left( x \right)\], giải phương trình \[g'\left( x \right) = 0\].

- Lập BXD của \[g'\left( x \right)\].

- Xác định điểm cực đại của hàm số \[g\left( x \right)\] là điểm mà \[g'\left( x \right)\] đổi dấu từ dương sang âm.

Giải chi tiết:

Ta có: \[g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\]

\[ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\]

\[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 2 = 0}\\{f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x = - 2}\\{{x^2} - 2x = 3}\end{array}} \right.\] (ta không xét \[{x^2} - 2x = 0\] vì \(x = 0\) là nghiệm kép của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)).

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 3}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\) và qua các nghiệm này thì \(g'\left( x \right)\) đổi dấu.

Chọn: \(x = 4\) ta có \(g'\left( 4 \right) = 6f'\left( 8 \right) > 0\).

Khi đó ta có BXD của \(g'\left( x \right)\) như sau:

Điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) là \({x_{CD}} = 1\).