Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \[f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = x\], \[\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\]. Tính giá trị của tích phân \[I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {xf\left( x \right)dx} \].

Đáp án D

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \frac{1}{x}\), suy ra hệ phương trình, giải tìm \(f\left( x \right)\).

- Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {xf\left( x \right)dx} \), có thể sử dụng MTCT.

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: \(f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\), \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Đặt \(t = \frac{1}{x}\) , khi đó (1) trở thành \(f\left( {\frac{1}{t}} \right) + 2f\left( t \right) = \frac{1}{t}\), suy ra \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = x}\\{f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right) = \frac{1}{x}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = x}\\{4f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{2}{x}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow 3f\left( x \right) = \frac{2}{x} - x \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{x} - x} \right)\)

Vậy \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {xf\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2 - {x^2}} \right)dx} = \frac{1}{3}\left. {\left( {2x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{1}{8}\).