Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {0;1; - 1} \right)\). Hai điểm \(D\), \(E\) thay đổi trên các đoạn \(OA\), \(OB\) sao cho đường thẳng \(DE\) chia tam giác \(OAB\) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi \(DE\) ngắn nhất thì trung điểm của đoạn \(DE\) có tọa độ là

Đáp án A

Phương pháp giải:

Xác định diện tích thông qua tỉ số, áp dụng định lí Cosin tìm độ dài và biện luận min

Giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {1;0;1} \right),\;\overrightarrow {OB} = \left( {0;1; - 1} \right),\;OA = OB = \sqrt 2 ,\) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1; - 2} \right),\;AB = \sqrt 6 .\)

Suy ra: \(\frac{{{S_{ODE}}}}{{{S_{OAB}}}} = \frac \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{2} \Leftrightarrow OD.OE = 1.\)

Lại có \(\cos \widehat {AOB} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}} = \frac{4} = \frac{{ - 1}}{2}.\)

Mặt khác \(D{E^2} = O{D^2} + O{E^2} - 2OD.OE\cos \widehat {AOB} = O{D^2} + O{E^2} + OD.OE \ge 3OD.OE.\)

\( \Rightarrow DE \ge \sqrt 3 \). Dấu bằng xảy ra khi \(OD = OE = 1\)

Khi đó \(\overrightarrow {OD} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\overrightarrow {OA} \Rightarrow D\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right),\;\overrightarrow {OE} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\overrightarrow {OB} \Rightarrow E\left( {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)

Vậy trung điểm \(I\) của \(DE\) có tọa độ \(I\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};0} \right)\).