Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 3\left( {{m^2} + 4m} \right)x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\,1} \right)?\)

Ta có: \[{\rm{y'}} = 3{{\rm{x}}^2} - 6\left( {\;{\rm{m}} + 2} \right){\rm{x}} + 3\left( {\;{{\rm{m}}^2} + 4\;{\rm{m}}} \right)\]

Có \({\rm{y'}} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {\;{\rm{m}} + 2} \right)x + 3\left( {{m^2} + 4m} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {\;{\rm{m}} + 2} \right)x + {m^2} + 4m = 0\)

Xét \(\Delta ' = {\left( {\;{\rm{m}} + 2} \right)^2} - \left( {{m^2} + 4m} \right) = 4 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = m}\\{x = m + 4}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra để hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0\,;\,\,1} \right)\]

\( \Rightarrow \left( {0\,;\,\,1} \right) \subset \left( {m\,;\,\,m + 4} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{m + 4 \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{m \ge  - 3}\end{array} \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 0} \right.} \right.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán. Chọn A.