Trong hệ tọa độ \({\rm{Oxy}}\), cho ba điểm \({\rm{A}}\left( {1\,;\,\,0} \right),\,\,{\rm{B}}\left( {0\,;\,\,3} \right)\) và \[{\rm{C}}\left( { - 3\,;\,\, - 5} \right)\]. Tìm điểm \(M\) thuộc trục hoành sao cho biểu thức \({\rm{P}} = \left| {2\overrightarrow {{\rm{MA}}} - 3\overrightarrow {{\rm{MB}}} + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(2\overrightarrow {{\rm{MA}}}  - 3\overrightarrow {{\rm{MB}}}  + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}}  = 2\left( {\overrightarrow {{\rm{MI}}}  + \overrightarrow {{\rm{IA}}} } \right) - 3\left( {\overrightarrow {{\rm{MI}}}  + \overrightarrow {{\rm{IB}}} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {{\rm{MI}}}  + \overrightarrow {{\rm{IC}}} } \right),\,\,\forall {\rm{I}}\)

                                                           \( = \overrightarrow {{\rm{MI}}}  + 2\left( {\overrightarrow {{\rm{IA}}}  - 3\overrightarrow {{\rm{IB}}}  + 2\overrightarrow {{\rm{IC}}} } \right),\,\,\forall {\rm{I}}\)

Chọn điểm I sao cho \(2\overrightarrow {{\rm{IA}}}  - 3\overrightarrow {{\rm{IB}}}  + 2\overrightarrow {{\rm{IC}}}  = \vec 0\). (*)

Gọi \(I(x;y)\), từ \((*)\) ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( {1 - x} \right) - 3\left( {0 - x} \right) + 2\left( { - 3 - x} \right) = 0}\\{2\left( {0 - y} \right) - 3\left( {3 - y} \right) + 2\left( { - 5 - y} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 4}\\{y =  - 19}\end{array} \Rightarrow I\left( { - 4\,;\,\, - 19} \right)} \right.} \right.\].

Khi đó \({\rm{P}} = \left| {2\overrightarrow {{\rm{MA}}}  - 3\overrightarrow {{\rm{MB}}}  + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{\rm{MI}}} } \right| = {\rm{MI}}\).

Để \({\rm{P}}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) nhỏ nhất. Mà \(M\) thuộc trục hoành nên \[MI\] nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của I lên trục hoành nên \(M\left( { - 4\,;\,\,0} \right)\). Chọn B.