Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2; -2; 4), B(-3; 3; -1), C(−1; −1; −1) và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z + 8 = 0. Xét điểm M thay đổi thuộc (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 2MA² + MB² - MC².

Đáp án đúng là: A

Gọi I là điểm thỏa mãn: 2IA→+IB→−IC→=0→

⇔2OA→−OI→+OB→−OI→−OC→−OI→=0→

⇔OI→=OA→+12OB→−12OC→=1;0;4

Suy ra I(1; 0; 4)

Khi đó, với mọi điểm M(x; y; z) Î (P), ta luôn có

T=2MI→+IA→2+MI→+IB→2−MI→+IC→2

=2MI→2+2MI→.2IA→+IB→−IC→+2IA→2+IB→2−IC→2

= 2MI² + (2IA² + IB² - IC2) = 2MI² + 30

Do đó, T đạt GTNN ⇔ MI đạt GTNN ⇔ MI ^ (P)

Ta có:

IM=dI,P=2.1−0+2.4+822+−12+22=6

Vậy T_min = 2.6² + 30 = 102.