Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; 3; -2), B(0; 4; 7), C(5; -1; 2) và mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0. Điểm M(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức MA→−2MB→+3MC→ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng T=a2+b2+c2 bằng

Đáp án B

Gọi IxI;yI;zI là điểm thỏa mãn IA→−2IB→+3IC→=0→

Suy ra 1−xI−20−xI+35−xI=03−yI−24−yI+3−1−yI=0−2−zI−27−zI+32−zI=0⇔xI=8yI=−4zI=−5⇒I8;−4;−5

Khi đó

MA→−2MB→+3MC→=MI→+IA→−2MI→+IB→+3MI→+IC→

          =2MI→+IA→−2IB→+3IC→=2MI→=2MI

Biểu thức MA→−2MB→+3MC→ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy M(a; b; c) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Mặt khác, mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là n→=1;1;1.

Gọi Δ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P), suy ra Δ: x=8+ty=−4+tz=−5+t

Khi đó M=Δ∩P, tọa độ của M là nghiệm của hệ sau

x=8+ty=−4+tz=−5+tx+y+z−2=0⇔x=9y=−3z=−4⇒M9;−3;−4

Vậy a=9b=−3c=−4⇒T=a2+b2+c2=106.