Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết SH⊥(ABC) với H thuộc cạnh AB thỏa mãn AB=3AH. Góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh HF⊥(SAK)

Bước 2: Chứng tỏ dBC,SA=3dH,SAK và tìm khoảng cách .

Giải chi tiết:

Kẻ Ax song song với BC

Kẻ HK vuông góc với Ax, kẻ HF vuông góc với SK.

Bước 1: Chứng minh HF⊥(SAK)

Ta có

HK⊥AxSH⊥Ax⇒Ax⊥(SHK)⇒AK⊥HFAK⊥HFHF⊥SK⇒HF⊥(SAK)

Bước 2: Chứng tỏ d(BC,SA)=3d(H,(SAK)) và tìm khoảng cách.

d(BC,SA)=d(BC,(SAK))=d(B,(SAK))=3d(H,(SAK))

Ta có AB=a⇒AH=a3

Tam giác ABC đều nên ∠ABC=60°⇒∠HAK=60°

⇒HK=32⋅AH=32⋅13a=a23

Góc tạo bởi SA và ( ABC ) bằng 60° nên SH=3AH=a3

Áp dụng HTL trong tam giác vuông SHK ta có:

1HF2=1SH2+1HK2=3a2+12a2=15a2⇒HF=a1515

Vậy d(BC,SA)=3⋅a1515=a155.

Chọn C