Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P):−x+2y+2x−3=0, mặt cầu (S):x2+y2+z2−10x−4y−6z+2=0. Gọi Δ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng P, đi qua A(3;1;2) và cắt (S) tại 2 điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất là

Phương pháp giải:

Tìm tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) và vtpt của mặt phẳng (P)

Giải chi tiết:

Mặt cầu (S) có tâm I(5;2;3), bán kính R=52+22+32−2=6.

Mặt phẳng (P) có nP→=−1;2;2 .

Ta có: dI,P=−5+2.2+2.3−3−12+22+22=23 Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).

IA=3−52+1−22+2−32=6

Gọi H là trung điểm của MN. Khi đó IH vuông góc với MN

=>MN=2HN=2IN2−IH2=236−IH2 

Do đó MN min ⇔ IH max

Vì tam giác IAH vuông tại H ⇒IH≤IA 

=> MN min ⇔IH=IA=6=>MN=236−6=230.

Chọn B