Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh bằng a không đổi. Độ dài CD thay đổi. Tính giá trị lớn nhất đạt được của thể tích khối tứ diện ABCD.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.

Vì tam giác ABC, ABD là các tam giác đều cạnh a nên AB = AC = AD = BC = BD = a.

⇒ΔBCD,ΔACD là các tam giác cân tại A ⇒{CD⊥AMCD⊥BM⇒CD⊥(ABM)⇒CD⊥MN.

Lại có ΔBCD=ΔACD(c.c.c)⇒AM=BM⇒ΔABM cân tại M ⇒MN⊥AB.

⇒d(AB;CD)=MN.

Đặt CD = x (x>0) ta có AM=BM=a2+a22−x24=4a2−x22.

⇒MN=4a2−x24+4a2−x242−a24=3a2−x22

Do đó ta có

VABCD=16AB.CD.d(AB;CD).sin∠(AB;CD)

=16a.x.3a2−x22.sin∠(AB;CD)

Để VABCD đạt giá trị lớn nhất thì {f(x)=x.3a2−x22datGTLNsin∠(AB;CD)=1

Áp dụng BĐT Cô-si ta có f(x)=x.3a2−x22≤12.x2+3a2−x22=3a24.

Dấu “=” xảy ra ⇔x=3a2−x22⇔4x2=3a2−x2⇔x=a155.

Vậy maxVABCD=16a.3a24=a38.

Đáp án A.