Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC’.

Gọi N là trung điểm của CC’ ⇒MN là đường trung bình của tam giác BCC’.

\[ \Rightarrow MN//BC' \Rightarrow BC'//\left( {AMN} \right) \supset AM\].

Khi đó ta có d(AM;BC')=d(BC';(AMN))=d(B;(AMN)).

Ta có: BC∩(AMN)=M⇒d(B;(AMN))d(C;(AMN))=BMCM=1⇒d(B;(AMN))=d(C;(AMN)).

Trong (BCC’B’) kẻ CH⊥MN(H∈MN) ta có:

{AM⊥CMAM⊥CN⇒AM⊥(BCC'B')⇒AM⊥CH

{CH⊥AMCH⊥MN⇒CH⊥(AMN)⇒d(C;(AMN))=CH

⇒d(AM;BC')=CH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CMN có: CH=CM.CNCM2+CN2=a2.a2a24+a24=a24.

Vậy d(AM;BC')=a24.

Đáp án D.