Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC) bằng 450, AD⊥BC và khoảng cách giữa AD và BC bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Dựng hình chữ nhật ABHC ta có:

{AB⊥BDAB⊥BH⇒AB⊥(BDH)⇒AB⊥DH

{AC⊥CHAC⊥CD⇒AC⊥(CDH)⇒AC⊥DH

⇒DH⊥(ABCD)

⇒ AH là hình chiếu của AD lên (ABC) ⇒∠(AD;(ABC))=∠(AD;AH)=∠DAH=450.

Ta có: {BC⊥DH(DH⊥(ABCD))BC⊥AD(gt)⇒BC⊥(ADH)⇒BC⊥AH.

⇒ABHC là hình vuông (Tứ giác có hai đường chéo vuông góc).

Gọi O=AH∩BC, trong (ADH) kẻ OK⊥AD(K∈AD) ta có:

{OK⊥ADOK⊥BC(BC⊥(ADH))⇒d(AD;BC)=OK=a.

Xét tam giác OKA vuông tại K có ∠OAK=450 nên tam giác OAK vuông cân tại K \[ \Rightarrow OA = OK\sqrt 2 = a\sqrt 2 \].

⇒AH=2OA=22a.

Lại có tam giác AHD vuông cân tại H nên HD=AH=22a.

Ta có: SABHC=12AH2=12(22a2)=4a2⇒SABC=2a2.

Vậy VABCD=13HD.SABC=13.22a.2a2=42a33.

Đáp án D.