Cho các số thực a, b, m, n sao cho 2m+n<0 và thỏa mãn điều kiện log2a2+b2+9=1+log23a+2b9−m.3−n.3−42m+n+ln2m+n+22+1=81 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a−m2+b−n2 .

Đáp án B

Ta có: log2a2+b2+9=1+log23a+2b⇔log2a2+b2+9=log223a+2b

⇔a2+b2+9=6a+4b⇔a−32+b−22=4

Gọi Ha;b , suy raH∈C  có tâm I3;2 , bán kính R=2  .

Lại có 9−m.3−n.3−42m+n+ln2m+n+22+1=81

⇔3−2m+n+−42m+n+ln2m+n+22+1=81 1.

Với mọi m, n thỏa mãn 2m+n<0  , ta có:

−2m+n+−42m+n≥2−2m+n.−42m+n=4⇒3−2m+n+−42m+n≥81ln2m+n+22+1≥ln1=0

Suy ra 3−2m+n+−42m+n+ln2m+n+22+1≥81

Do đó 1⇔−2m+n=−42m+n2m+n+2=0⇔2m+n+2=0  .

Gọi Km;n  , suy ra K∈Δ:2x+y+2=0  .

Ta có: P=a−m2+b−n2=HK .

dI,Δ=2.3+2+222+12=25>2, suy ra đường thẳng  không cắt đường tròn .

Do đó HK ngắn nhất khi K là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng  và điểm H là giao điểm của đoạn thẳng IK với đường tròn .

Lúc đó HK=IK−IH=25−2 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 25−2  .