a) Ta có ˆACB=900ACB^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ΔABC⇒ΔABC vuông tại C

⇒ˆABC+ˆBAC=900⇒ABC^+BAC^=900 (hai góc nhọn trong tam giác vuông) hay ˆABC+ˆHAC=900ABC^+HAC^=900

ΔAHCΔAHC vuông tại H ⇒ˆHAC+ˆACH=900⇒HAC^+ACH^=900 (hai góc nhọn trong tam giác vuông).

⇒ˆABC=ˆACH⇒ABC^=ACH^ (cùng phụ vớiˆHACHAC^)

Lại có ˆACM=ˆABCACM^=ABC^ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

⇒ˆACM=ˆACH⇒CA⇒ACM^=ACH^⇒CA là tia phân giác của ˆMCHMCH^.

b) Gọi bán kính của đường tròn đường kính AB là R

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OCM có :

MC2+OC2=OM2⇔c2+R2=(a+R)2⇔c2+R2=a2+2aR+R2⇔a2+2Ra–c2=0⇔2R=c2–a2a=AB⇒R=c2–a22aMC2+OC2=OM2⇔c2+R2=(a+R)2⇔c2+R2=a2+2aR+R2⇔a2+2Ra–c2=0⇔2R=c2–a2a=AB⇒R=c2–a22a

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCM có :

1CH2=1OC2+1CM2⇔1CH2=1R2+1c2⇔1CH2=4a2c2–a2+1c2⇔1CH2=4a2c2+c2–a2c2(c2–a2)⇒CH2=c2(c2–a2)4a2c2+c2–a2⇒CH=√c2(c2–a2)4a2c2+c2–a2