a, Vì BE là phân giác của ABC 

⇒ECBC=AEAB⇒ECBC=AEAB⇒EC4=AE7=EC+AE4+7=AC11=611⇒EC4=AE7=EC+AE4+7=AC11=611(Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Do đó: EC4=611EC4=611⇒EC=4.611=2411⇒EC=4.611=2411  ; AE7=611AE7=611⇒AE=6.711=4211⇒AE=6.711=4211

b, Xét △ABH vuông tại H và △CBF vuông tại F

Có: ABH = CBF (gt)

=> △ABH ᔕ △CBF (g.g)

⇒ABCB=BHBF⇒ABCB=BHBF⇒AB.BF=BH.BC⇒AB.BF=BH.BC

c, Gọi DF ∩ BC = { K }  ;  CF ∩ AB = { I }  ; GE ∩ DF = { O }

Xét △BIC có BF vừa là đường cao vừa là đường phân giác

=> △BIC cân tại B 

=> BI = BC 

và IF = FC

mà AD = DC

=> DF là đường trung bình của △CAI

=> DF // AI và 2FD = AI   

=> DF // AB

=> DK // AB

Xét △ABC có: DK // AB và AD = DC (gt)

=> DK là đường trung bình của △ABC

=> K là trung điểm của BC

=> BK = KC 

Vì DF // AB (cmt)  

Ta có: CEDE=DC−DEDE=DCDE−1=ADDE−1=AE−DEDE−1=AEDE−1−1=ABDF−2CEDE=DC−DEDE=DCDE−1=ADDE−1=AE−DEDE−1=AEDE−1−1=ABDF−2

=ABDF−2=2(AI+BI)2DF−2=2AI+2BIAI−2=2AI+2BI−2AIAI=2BIAI=ABDF−2=2(AI+BI)2DF−2=2AI+2BIAI−2=2AI+2BI−2AIAI=2BIAI  (2)

Từ (1) và (2) ⇒BGGD=CEDE⇒BGGD=CEDE⇒GE//BC⇒GE//BC

⇒GOKC=OEBK⇒GOKC=OEBK

Mà KC = BK 

=> GO = OE 

=> O là trung điểm của GE

Mà GE ∩ DF = { O }

=> DF đi qua trung điểm của EG