a) Tứ giác BEFI có:

ˆBIF=90o (giả thiết) suy ra I thuộc đường tròn đường kính (BF)

ˆBEF=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên E thuộc đường tròn đường kính (BF)

⇒BEFI nội tiếp đường tròn đường kính (BF)

b) AB⊥CD,ΔOCD cân có OI là đường cao nên cũng là đường trung tuyến, nên I là trung điểm của CD

ΔACD có AI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ΔACD cân đỉnh A nên AC=AD

⇒ˆACF=ˆAEC^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét ΔACF và ΔAEC có:

ˆA chung

ˆACF=ˆAEC (chứng minh trên)

⇒ΔACF∼ΔAEC (g.g)

⇒ACAE=AFAC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒AE.AF=AC^2

c) ˆACF=ˆAEC⇒AC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ΔCEF (1)

Mặt khác ˆACB=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒AC⊥CB (2)

Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính đường tròn ngoại tiếp ΔCEF

Mà CB cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCEF thuộc CB cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC.